Le proprietà della media aritmetica in statistica

Descrizione delle proprietà possedute dalla media all'interno della statistica descrittiva.

Nell'ambito della statistica descrittiva, la media aritmetica (insieme a mediana e moda) è un indice di posizione (detto anche "indice di tendenza centrale"), ovvero un indicatore approssimativo della scala di grandezza dei valori esistenti.

Possiede alcune proprietà che andremo di seguito a descrivere.
In primis, la media aritmetica presenta sempre la stessa unità di misura dei dati su cui essa è calcolata.

Inoltre, la media aritmetica è sempre un numero compreso tra il valore minimo (che indicheremo con x.1) e il valore massimo (che invece indicheremo con x.k) delle modalità numeriche del carattere (variabile). Si può anche dire che la media aritmetica si trova sempre tra il valore minimo e il valore massimo di una distribuzione di frequenza.

Un'altra proprietà della media consiste nell'annullamento dei suoi scarti. Infatti, effettuando la somma di ogni numero derivante da una precedente operazione di sottrazione di ogni valore x (x.1, x.2, x.3, ecc.) presente all'interno di una distribuzione di frequenza di un dato carattere X, con la media aritmetica dell'intera distribuzione avremo sempre come risultato il numero zero.

La media aritmetica è anche invariante rispetto alle trasformazioni lineari. Infatti, considerando la canonica formula della retta y = a + bx, se considerassimo due variabili definite nel classico modo, cioè come Y (variabile dipendente) e X (variabile indipendente), ci accorgeremmo che per le medie delle due variabili Y e X si verifica la stessa formula della retta, quindi avremo media di Y = a + b (media di X).

Invece, secondo la proprietà associativa, se un collettivo viene suddiviso in sottinsiemi disgiunti, per ottenere la media aritmetica si dovrà calcolare una media ponderata delle medie aritmetiche di tutti i sottinsiemi, assegnando pesi uguali alle loro numerosità.